I. LÝ THUYẾT CẦN NẮM
1. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}
f\left( {x;y} \right) = a\\
f\left( {y;x} \right) = a
\end{array} \right.\) \((*).\)
2. Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2:
Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được: \(f\left( {x;y} \right) – f\left( {y;x} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)g\left( {x;y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
g\left( {x;y} \right) = 0
\end{array} \right.\)
3. Chú ý:
+ Nếu hệ phương trình \((*)\) có nghiệm \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thì \(\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)\) cũng là nghiệm của hệ phương trình \((*)\). Từ đó suy ra, nếu hệ phương trình \((*)\) có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là \({{x}_{0}}={{y}_{0}}.\)
+ \(f\left( {x;y} \right) + f\left( {y;x} \right) = 2a\) là một phương trình đối xứng.
II. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Giải các hệ phương trình sau:
1. \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = 3x + 2y\\
{y^2} = 3y + 2x
\end{array} \right.\)
2. \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} + 1 = 2y\\
{y^3} + 1 = 2x
\end{array} \right.\)
1. Trừ vế với vế hai phương trình của hệ, ta được:
\({x^2} – {y^2} = x – y\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + y – 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
x = 1 – y
\end{array} \right.\)
+ Với \(x = y \Rightarrow {x^2} = 3x\) \( \Leftrightarrow x = 0,x = 3.\)
+ Với \(x = 1 – y\) \( \Rightarrow {y^2} = 3y + 2\left( {1 – y} \right)\) \( \Leftrightarrow {y^2} – y – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = – 1 \Rightarrow x = 2\\
y = 2 \Rightarrow x = – 1
\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right),\left( {3;3} \right)\), \(\left( { – 1;2} \right),\left( {2; – 1} \right).\)
2. Trừ hai phương trình của hệ, ta được:
\({x^3} – {y^3} = 2\left( {y – x} \right)\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = y\) (do \({x^2} + xy + {y^2} + 2 > 0\), \(\forall x,y\)).
Thay vào hệ phương trình, ta được:
\({x^3} + 1 = 2x\) \( \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {{x^2} + x – 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 1\), \(x = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l}
x = y = 1\\
x = y = \frac{{ – 1 \pm \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.\)
Ví dụ 2. Giải các hệ phương trình sau:
1. \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{3}{{{x^2}}} = 2x + y\\
\frac{3}{{{y^2}}} = 2y + x
\end{array} \right.\)
2. \(\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 9} + \sqrt {y – 7} = 8\\
\sqrt {y + 9} + \sqrt {x – 7} = 8
\end{array} \right.\)
1. Điều kiện: \(x,y \ne 0.\)
Hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{x^3} + {x^2}y = 3\\
2{y^3} + {y^2}x = 3
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2\left( {{x^3} – {y^3}} \right) + xy\left( {x – y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {2{x^2} + 3xy + 2{y^2}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = y\) (do \(2{x^2} + 3xy + 2{y^2}\) \( = 2{\left( {x + \frac{3}{4}y} \right)^2} + \frac{7}{8}{y^2} > 0\)).
Thay vào hệ phương trình, ta được: \(3{x^3} = 3\) \( \Leftrightarrow x = 1 = y.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(x=y=1.\)
2. Điều kiện: \(x,y \ge 7.\)
Trừ hai phương trình của hệ, ta được:
\(\sqrt {x + 9} + \sqrt {y – 7} \) \( = \sqrt {y + 9} + \sqrt {x – 7} \) \( \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 9} \right)\left( {y – 7} \right)} \) \( = \sqrt {\left( {y + 9} \right)\left( {x – 7} \right)} \) \( \Leftrightarrow x = y.\)
Thay vào hệ phương trình, ta được:
\(\sqrt {x + 9} + \sqrt {x – 7} = 8\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 9} + \sqrt {x – 7} = 8\\
\sqrt {x + 9} – \sqrt {x – 7} = 2
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {x + 9} = 5\\
\sqrt {x – 7} = 3
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 16.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: \(x=y=16.\)
Ví dụ 3. Giải các hệ phương trình sau:
1. \(\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt x + \sqrt {2 – y} = 2\\
\sqrt y + \sqrt {2 – x} = 2
\end{array} \right.\)
2. \(\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {5x + 1} + \sqrt {12 – y} = 7\\
\sqrt {5y + 1} + \sqrt {12 – x} = 7
\end{array} \right.\)
1. Điều kiện: \(0 \le x,y \le 2.\)
Trừ hai phương trình của hệ, ta được:
\(\sqrt x – \sqrt {2 – x} \) \( = \sqrt y – \sqrt {2 – y} \) \(\left( * \right).\)
Do hàm số \(f\left( t \right) = \sqrt t + \sqrt {2 – t} \) là một hàm liên tục và đồng biến trên \((0;2).\)
Nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow f(x) = f(y)\) \( \Leftrightarrow x = y.\)
Thay vào hệ phương trình, ta có:
\(\sqrt x + \sqrt {2 – x} = 2\) \( \Leftrightarrow \sqrt {x\left( {2 – x} \right)} = 1\) \( \Leftrightarrow x = 1.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: \(x=y=1.\)
2. Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}
– \frac{1}{5} \le x \le 12\\
– \frac{1}{5} \le y \le 12
\end{array} \right.\)
Trừ hai phương trình của hệ, ta được:
\(\sqrt {5x + 1} – \sqrt {12 – x} \) \( = \sqrt {5y + 1} – \sqrt {12 – y} \) \((*).\)
Xét hàm số: \(f\left( t \right) = \sqrt {5t + 1} – \sqrt {12 – t} \), \(t \in \left[ { – \frac{1}{5};12} \right]\), ta có:
\(f’\left( x \right) = \frac{5}{{2\sqrt {5t + 1} }} + \frac{1}{{2\sqrt {12 – t} }} > 0\), \(\forall t \in \left( { – \frac{1}{5};12} \right).\)
Suy ra: \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( y \right)\) \( \Leftrightarrow x = y.\)
Thay \(x=y\) vào hệ phương trình, ta được:
\(\sqrt {5x + 1} + \sqrt {12 – x} = 7\) \( \Leftrightarrow 4x + 13\) \( + 2\sqrt {\left( {5x + 1} \right)\left( {12 – x} \right)} = 49\) \( \Leftrightarrow \sqrt { – 5{x^2} + 59x + 12} = 18 – 2x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 9\\
9{x^2} – 131x + 312 = 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 3.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(x=y=3.\)
Ví dụ 4. Giải các hệ phương trình sau:
1. \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^3} = 2x + y\\
{y^3} = 2y + x
\end{array} \right.\)
2. \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {x – 1} \right)\left( {{y^2} + 6} \right) = y\left( {{x^2} + 1} \right)\\
\left( {y – 1} \right)\left( {{x^2} + 6} \right) = x\left( {{y^2} + 1} \right)
\end{array} \right.\)
1. Trừ hai phương trình của hệ, ta được:
\({x^3} – {y^3} = x – y\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} – 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
{x^2} + xy + {y^2} – 1 = 0
\end{array} \right.\)
+ Với \(x=y\), thay vào hệ phương trình, ta được: \({x^3} = 3x\) \( \Leftrightarrow x = 0\), \(x = \pm \sqrt 3 .\)
+ Với \({x^2} + xy + {y^2} = 1\) \(\left( 1 \right)\), cộng hai phương trình của hệ phương trình, ta có: \({x^3} + {y^3} – 3\left( {x + y} \right) = 0\) \(\left( 2 \right).\)
Từ \((1)\) và \((2)\), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + xy + {y^2} – 1 = 0\\
{x^3} + {y^3} – 3\left( {x + y} \right) = 0
\end{array} \right.\)
Đặt \(S=x+y\), \(P=xy\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
{S^2} – P – 1 = 0\\
{S^3} – 3SP – 3S = 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = {S^2} – 1\\
{S^3} – 3S\left( {{S^2} – 1} \right) – 3S = 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S = 0\\
P = – 1
\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = – 1
\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}
x = – 1\\
y = 1
\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 0
\end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l}
x = – 1\\
y = 1
\end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = – 1
\end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt 3 \\
y = \sqrt 3
\end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l}
x = – \sqrt 3 \\
y = – \sqrt 3
\end{array} \right.\)
2. Hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x{y^2} + 6x – {y^2} – 6 = y{x^2} + y\\
y{x^2} + 6y – {x^2} – 6 = x{y^2} + x
\end{array} \right.\)
Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ, ta được:
\(2xy\left( {y – x} \right) + 7\left( {x – y} \right)\) \( + \left( {x – y} \right)\left( {x + y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {x + y – 2xy + 7} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
x + y – 2xy + 7 = 0
\end{array} \right.\)
+ Với \(x=y\), thay vào hệ phương trình, ta được: \({x^2} – 5x + 6 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y = 2\\
x = y = 3
\end{array} \right.\)
+ Với \(x+y-2xy+7=0\) \((1)\), cộng hai phương trình của hệ đã cho, ta được: \({x^2} + {y^2} – 5x – 5y + 12 = 0\) \(\left( 2 \right).\)
Từ \((1)\) và \((2)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
x + y – 2xy + 7 = 0\\
{x^2} + {y^2} – 5x – 5y + 12 = 0
\end{array} \right.\)
Đặt \(S=x+y\), \(P=xy\), ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
S – 2P + 7 = 0\\
{S^2} – 5S – 2P + 12 = 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
P = \frac{{S + 7}}{2}\\
{S^2} – 6S + 5 = 0
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
S = 1\\
P = 4
\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}
S = 5\\
P = 6
\end{array} \right.\)
+ Với \(\left\{ \begin{array}{l}
S = 1\\
P = 4
\end{array} \right.\), ta thấy hệ vô nghiệm.
+ Với \(\left\{ \begin{array}{l}
S = 5\\
P = 6
\end{array} \right.\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 3
\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 3\\
y = 2
\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;2} \right),\left( {3;3} \right)\), \(\left( {2;3} \right),\left( {3;2} \right).\)
Ví dụ 5. Tìm \(m\) để hệ phương trình sau có nghiệm: \(\left\{ \begin{array}{l}
2x + \sqrt {y – 1} = m\\
2y + \sqrt {x – 1} = m
\end{array} \right.\)
Điều kiện: \(x,y \ge 1\). Đặt \(a = \sqrt {x – 1} \), \(b = \sqrt {y – 1} \) \( \Rightarrow a,b \ge 0\), ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
2{a^2} + b = m – 2\\
2{b^2} + a = m – 2
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2\left( {a – b} \right)\left( {a + b} \right)\) \( + b – a = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {a – b} \right)\left( {2a + 2b – 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = b\\
a = \frac{{1 – 2b}}{2}
\end{array} \right.\)
+ Với \(a = b\) \( \Rightarrow 2{a^2} + a = m – 2\) \( \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm \(a \ge 0\) \( \Leftrightarrow m – 2 \ge 0\) \( \Leftrightarrow m \ge 2.\)
+ Với \(a = \frac{{1 – 2b}}{2}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 \le b \le \frac{1}{2}\\
4{b^2} – 2b = 2m – 5
\end{array} \right.\), hệ phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow – \frac{1}{4} \le 2m – 5 \le 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{19}}{8} \le m \le \frac{5}{2}.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \(m \ge 2.\)
Ví dụ 6. Tìm \(m\) để các hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
1. \(\left\{ \begin{array}{l}
x = {y^2} – y + m\\
y = {x^2} – x + m
\end{array} \right.\)
2. \(\left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} = {y^3} – 2{y^2} + my\\
3{y^2} = {x^3} – 2{x^2} + mx
\end{array} \right.\)
1. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thì \(\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)\) cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết \({{x}_{0}}={{y}_{0}}.\)
Thay vào hệ ta được: \(x_0^2 – 2{x_0} + m = 0\), phương trình này có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \Delta’ = 1 – m = 0\) \( \Leftrightarrow m = 1.\)
Điều kiện đủ: Với \(m = 1\) hệ trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = {y^2} – y + 1\\
y = {x^2} – x + 1
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {x^2} + {y^2} – 2x – 2y + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 0\) \( \Leftrightarrow x = y = 1\) (thử lại ta thấy thỏa mãn hệ).
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m = 1.\)
2. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) thì \(\left( {{y}_{0}};{{x}_{0}} \right)\) cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì trước hết \({{x}_{0}}={{y}_{0}}.\)
Thay vào hệ ta được: \(x_0^3 – 5x_0^2 + m{x_0} = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 0\\
x_0^2 – 5{x_0} + m = 0\left( * \right)
\end{array} \right.\)
Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì \((*)\) phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép \(x = 0.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\Delta = 25 – 4m < 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
\Delta = 25 – 4m = 0\\
5 = 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m > \frac{{25}}{4}.\)
Điều kiện đủ: Với \(m > \frac{{25}}{4}\), ta có:
\(\left[ \begin{array}{l}
3{x^2} = y\left( {{y^2} – 2y + m} \right) = y\left[ {{{\left( {y – 1} \right)}^2} + m – 1} \right]\\
3{y^2} = x\left( {{x^2} – 2x + m} \right) = x\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + m – 1} \right]
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow x,y \ge 0.\)
Cộng hai phương trình của hệ với nhau, ta được:
\(x\left( {{x^2} – 5x + m} \right)\) \( + y\left( {{y^2} – 5y + m} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x\left[ {{{\left( {x – \frac{5}{2}} \right)}^2} + m – \frac{{25}}{4}} \right]\) \( + y\left[ {{{\left( {y – \frac{5}{2}} \right)}^2} + m – \frac{{25}}{4}} \right] = 0\) \( \Leftrightarrow x = y = 0.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi \(m > \frac{{25}}{4}.\)
Ví dụ 7. Chứng minh rằng hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
2{x^2} = y + \frac{{{a^2}}}{y}\\
2{y^2} = x + \frac{{{a^2}}}{x}
\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất với mọi \(a \ne 0.\)
Điều kiện: \(x \ne 0.\)
Từ hai phương trình của hệ \( \Rightarrow x,y > 0.\)
Hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{x^2}y = {y^2} + {a^2}\\
2{y^2}x = {x^2} + {a^2}
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2xy\left( {x – y} \right) = {y^2} – {x^2}\) \( \Leftrightarrow \left( {x – y} \right)\left( {2xy + x + y} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = y\) (do \(x,y > 0\) \( \Rightarrow 2xy + x + y > 0\)).
Thay vào hệ phương trình, ta được: \({a^2} = 2{x^3} – {x^2} = f\left( x \right)\) \((*).\)
Xét hàm số: \(f\left( x \right) = 2{x^3} – {x^2}\) với \(x>0.\)
Ta có: \(f’\left( x \right) = 2x\left( {3x – 1} \right)\) \( \Rightarrow f’\left( x \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}.\)
Mà \(f\left( 0 \right) = 0\), \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) = – \frac{1}{{27}}\) và \({a^2} > 0\) nên phương trình \((*)\) chỉ có duy nhất một nghiệm.
Vậy hệ đã cho luôn có nghiệm duy nhất với mọi \(a \ne 0.\)