Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.
I. PHƯƠNG PHÁP
Bài toán 1: Giải phương trình: \(a(\sin x + \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0\) \((1).\)
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Ta biện luận theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt \(\sin x + \cos x = t\), điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \) \( \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.\)
Khi đó phương trình có dạng:
\(at + b\frac{{{t^2} – 1}}{2} + c = 0\) \( \Leftrightarrow b{t^2} + 2at + 2c – b = 0\) \((2).\)
+ Bước 2: Giải \((2)\) theo \(t\) và chọn nghiệm \({t_0}\) thoả mãn điều kiện \(|t| \le \sqrt 2 .\)
Với \(t = {t_0}\), ta được:
\(\sin x + \cos x = {t_0}\) \( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = {t_0}\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{t_0}}}{{\sqrt 2 }}.\)
Đây là phương trình cơ bản của sin.
Chú ý: Ta có thể giải \((1)\) bằng cách đặt ẩn phụ \(z = \frac{\pi }{4} – x\), khi đó ta có:
\(\sin x + \cos x\) \( = \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)\) \( = \sqrt 2 \cos z.\)
\(\sin x\cos x\) \( = \frac{1}{2}\sin 2x\) \( = \frac{1}{2}\sin 2\left( {\frac{\pi }{4} – z} \right)\) \( = \frac{1}{2}\sin \left( {\frac{\pi }{2} – 2z} \right)\) \( = \frac{1}{2}\cos 2z\) \( = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}z – 1} \right).\)
Vậy ta chuyển phương trình ban đầu về dạng phương trình bậc \(2\) đối với \(\cos z.\)
Ví dụ 1: Giải phương trình:
\(\sin x + \cos x\) \( – 2\sin x\cos x + 1 = 0.\)
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: Đặt \(\sin x + \cos x = t\), điều kiện \(|t| \le \sqrt 2 \), suy ra \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.\)
Khi đó phương trình có dạng:
\(t – \left( {{t^2} – 1} \right) + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {t^2} – t – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 1}\\
{t = 2\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \sin x + \cos x = – 1\) \( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = – 1\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{2} + 2k\pi }\\
{x = \pi + 2k\pi }
\end{array}} \right.\), \(k \in Z.\)
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Cách 2: Đặt \(z = \frac{\pi }{4} – x\). Khi đó phương trình có dạng:
\(\sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} – x} \right) – \sin 2x + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos z – \sin 2\left( {\frac{\pi }{4} – z} \right) + 1 = 0.\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos z – \sin \left( {\frac{\pi }{2} – 2z} \right) + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos z – \cos 2z + 1 = 0.\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \cos z – \left( {2{{\cos }^2}z – 1} \right) + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow – 2{\cos ^2}z + \sqrt 2 \cos z + 2 = 0.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos z = \sqrt 2 \:{\rm{(loại)}}}\\
{\cos z = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z = – \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }\\
{z = \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{\pi }{4} – x = – \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }\\
{\frac{\pi }{4} – x = \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }
\end{array}} \right..\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{2} – 2k\pi }\\
{x = \pi – 2k\pi }
\end{array}} \right.\), \(k \in Z.\)
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Chú ý: Tồn tại những phương trình ở dạng ban đầu chưa phải là phương trình đối xứng, khi đó cần thực hiện một vài phép biến đổi lượng giác thích hợp.
Ví dụ 2: (ĐHMĐC – 1999): Giải phương trình: \(1 + \tan x = 2\sqrt 2 \sin x.\)
Điều kiện: \(\cos x \ne 0\) \( \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in Z.\)
Biến đổi phương trình về dạng:
\(1 + \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 2\sqrt 2 \sin x\) \( \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 2\sqrt 2 \sin x\cos x.\)
Đặt \(\sin x + \cos x = t\), điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \), suy ra \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.\)
Khi đó phương trình có dạng:
\(t = \sqrt 2 \left( {{t^2} – 1} \right)\) \( \Leftrightarrow \sqrt 2 {t^2} – t – \sqrt 2 = 0.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\\
{t = \sqrt 2 }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x + \cos x = – \frac{{\sqrt 2 }}{2}}\\
{\sin x + \cos x = \sqrt 2 }
\end{array}} \right..\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{1}{2}}\\
{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + \frac{\pi }{4} = – \frac{\pi }{6} + 2k\pi }\\
{x + \frac{\pi }{4} = \frac{{7\pi }}{6} + 2k\pi }\\
{x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + 2k\pi }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{{5\pi }}{{12}} + 2k\pi }\\
{x = \frac{{11\pi }}{{12}} + 2k\pi }\\
{x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi }
\end{array}} \right.\) \((k \in Z).\)
Vậy phương trình có ba họ nghiệm.
Ví dụ 3: Cho phương trình:
\(m(\sin x + \cos x)\) \( + \sin 2x + m – 1 = 0\) \((1).\)
a. Giải phương trình với \(m = 2.\)
b. Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm.
Đặt \(\sin x + \cos x = t\), điều kiện \(|t| \le \sqrt 2 \), suy ra \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.\)
Khi đó phương trình có dạng:
\(mt + \left( {{t^2} – 1} \right) + m – 1 = 0\) \( \Leftrightarrow f(t) = {t^2} + mt + m – 2 = 0\) \((2).\)
a. Với \(m = 2\) phương trình \((2)\) có dạng:
\({t^2} + 2t = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{t = – 2\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 0\) \( \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi \) \((k \in Z).\)
Vậy với \(m = 2\) phương trình có một họ nghiệm.
b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách:
Cách 1: Phương trình \((1)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow (2)\) có nghiệm thoả mãn \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
(2){\rm{\:có\:1\:nghiệm\:thuộc\:}}\left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\\
(2){\rm{\:có\:2\:nghiệm\:thuộc\:}}\left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]
\end{array} \right..\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f( – \sqrt 2 )f(\sqrt 2 ) \le 0}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta \ge 0}\\
{af(\sqrt 2 ) \ge 0}\\
{af( – \sqrt 2 ) \ge 0}\\
{ – \sqrt 2 \le \frac{S}{2} \le \sqrt 2 }
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
( – m\sqrt 2 + m)(m\sqrt 2 + m) \le 0\\
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} – 4m + 8 \ge 0}\\
{m\sqrt 2 + m \ge 0}\\
{ – m\sqrt 2 + m \ge 0}\\
{ – \sqrt 2 \le – \frac{m}{2} \le \sqrt 2 }
\end{array}} \right.
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \forall m.\)
Vậy với mọi \(m\) phương trình luôn có nghiệm.
Cách 2: Viết lại \((2)\) dưới dạng:
\(2 – {t^2} = m(t + 1)\) \( \Leftrightarrow \frac{{2 – {t^2}}}{{t + 1}} = m\) (vì \(t = – 1\) không là nghiệm).
Phương trình \((1)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \) đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{2 – {t^2}}}{{t + 1}}\) trên \(D = ( – 1,1].\)
Xét hàm số \(y = \frac{{2 – {t^2}}}{{t + 1}}\) trên \(D = ( – 1,1].\)
Đạo hàm: \(y’ = \frac{{ – {t^2} – 2t – 2}}{{t + 1}} < 0\), suy ra hàm số nghịch biến trên \(D.\)
Do đó đường thẳng \(y = m\) luôn cắt đồ thị hàm số trên \(D\) \( \Leftrightarrow \) với mọi \(m\) phương trình luôn có nghiệm.
Bài toán 2: Giải phương trình: \(a(\sin x – \cos x) + b\sin x\cos x + c = 0\) \((1).\)
PHƯƠNG PHÁP CHUNG:
Ta biện luận theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt \(\sin x – \cos x = t\), điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \) \( \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}.\)
Khi đó phương trình có dạng:
\(at + b\frac{{1 – {t^2}}}{2} + c = 0\) \( \Leftrightarrow b{t^2} – 2at – 2c – b = 0\) \((2).\)
+ Bước 2: Giải phương trình \((2)\) theo \(t\) và chọn nghiệm \({t_0}\) thoả mãn điều kiện: \(|t| \le \sqrt 2 .\)
Với \(t = {t_0}\), ta được:
\(\sin x + \cos x = {t_0}\) \( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = {t_0}\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{t_0}}}{{\sqrt 2 }}.\)
Đây là phương trình cơ bản của sin.
Chú ý: Cũng như trong bài toán 1, ta có thể giải phương trình nửa đối xứng đối với \(\sin x\) và \(\cos x\) bằng cách đặt ẩn phụ \(z = \frac{\pi }{4} – x.\)
Ví dụ 4: Giải phương trình:
\(6(\sin x – \cos x) + \sin x\cos x + 6 = 0.\)
Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
+ Cách 1: Đặt \(\sin x – \cos x = t\), điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \), suy ra \(\sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}.\)
Khi đó phương trình có dạng:
\(6t – \frac{{1 – {t^2}}}{2} + 6 = 0\) \( \Leftrightarrow {t^2} – 12t – 13 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 1}\\
{t = 13\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \sin x – \cos x = – 1.\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = – 1\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{2} + 2k\pi }\\
{x = \pi + 2k\pi }
\end{array}} \right.\), \(k \in Z.\)
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
+ Cách 2: Đặt \(z = \frac{\pi }{4} – x.\)
Khi đó phương trình có dạng:
\(6\sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{1}{2}\sin 2x + 6 = 0\) \( \Leftrightarrow 12\sqrt 2 \sin ( – z)\) \( + \sin 2\left( {\frac{\pi }{4} – z} \right) + 12 = 0.\)
\( \Leftrightarrow – 12\sqrt 2 \sin z\) \( + \sin \left( {\frac{\pi }{2} – 2z} \right) + 12 = 0\) \( \Leftrightarrow – 12\sqrt 2 \sin z + \cos 2z + 12 = 0.\)
\( \Leftrightarrow – 12\sqrt 2 \sin z\) \( + \left( {1 – 2{{\sin }^2}z} \right) + 12 = 0\) \( \Leftrightarrow – 2{\sin ^2}z – 12\sqrt 2 \sin z + 13 = 0.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin z = – \frac{{13\sqrt 2 }}{2}\:{\rm{(loại)}}}\\
{\sin z = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z = \frac{\pi }{4} + 2k\pi }\\
{z = \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{\pi }{4} – x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi }\\
{\frac{\pi }{4} – x = \frac{{3\pi }}{4} + 2k\pi }
\end{array}} \right..\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2k\pi }\\
{x = – \frac{\pi }{2} – 2k\pi }
\end{array}} \right.\), \(k \in Z.\)
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Ví dụ 5: Cho phương trình sau:
\(4(\cos x – \sin x) + \sin 2x = m\) \((1).\)
a. Giải phương trình với \(m = 1.\)
b. Tìm \(m\) để phương trình vô nghiệm.
Biến đổi phương trình về dạng:
\(4(\cos x – \sin x) + 2\sin x\cos x = m.\)
Đặt \(\cos x – \sin x = t\), điều kiện \(|t| \le \sqrt 2 \), suy ra \(\sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}.\)
Khi đó phương trình có dạng:
\(4t + 1 – {t^2} = m\) \( \Leftrightarrow – {t^2} + 4t + 1 – m = 0\) \((2).\)
a. Với \(m = 1\), ta được:
\( – {t^2} + 4t = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 0}\\
{t = 4\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \cos x – \sin x = 0\) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \), \(k \in Z.\)
Vậy phương trình có một họ nghiệm.
b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
+ Cách 1: Ta đi xét bài toán ngược “Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm”.
Phương trình \((1)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow (2)\) có nghiệm thoả mãn \(\left| t \right| \le \sqrt 2 .\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
(2){\rm{\:có\:1\:nghiệm\:thuộc\:}}\left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\\
(2){\rm{\:có\:2\:nghiệm\:thuộc\:}}\left[ { – \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]
\end{array} \right..\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( { – \sqrt 2 } \right)f\left( {\sqrt 2 } \right) \le 0\\
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta ‘ \ge 0}\\
{af\left( {\sqrt 2 } \right) \ge 0}\\
{af\left( { – \sqrt 2 } \right) \ge 0}\\
{ – \sqrt 2 \le \frac{S}{2} \le \sqrt 2 }
\end{array}} \right.
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
( – 1 – 4\sqrt 2 – m)(1 + 4\sqrt 2 – m) \le 0\\
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{5 – m \ge 0}\\
{1 + 4\sqrt 2 – m \ge 0}\\
{ – 1 – 4\sqrt 2 – m \ge 0}\\
{ – \sqrt 2 \le 2 \le \sqrt 2 }
\end{array}} \right.
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow |m| \le 4\sqrt 2 + 1.\)
Vậy phương trình vô nghiệm khi \(|m| > 4\sqrt 2 + 1.\)
+ Cách 2: Viết lại \((2)\) dưới dạng:
\( – {t^2} + 4t + 1 = m.\)
Vậy phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \) đường thẳng \(y = m\) không cắt phần đồ thị hàm số \(y = – {t^2} + 4t + 1\) trên \(\left[ { – \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right].\)
Xét hàm số \(y = – {t^2} + 4t + 1\) trên \(\left[ { – \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right].\)
Đạo hàm:
\(y’ = – 2t + 4 > 0\), \(\forall t \in \left[ { – \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right]\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left[ { – \sqrt 2 ,\sqrt 2 } \right].\)
Từ đó ta được điều kiện là:
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < y( – \sqrt 2 )}\\
{m > y(\sqrt 2 )}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < – 4\sqrt 2 – 1}\\
{m > 4\sqrt 2 + 1}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow |m| > 4\sqrt 2 + 1.\)
Vậy phương trình vô nghiệm khi \(|m| > 4\sqrt 2 + 1.\)
Ví dụ 6: Cho phương trình sau:
\({\sin ^3}x – {\cos ^3}x = m\) \((1).\)
a. Giải phương trình với \(m =1.\)
b. Tìm \(m\) để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc \([0,\pi ].\)
Biến đổi phương trình về dạng:
\((\sin x – \cos x)\) \( + 3\sin x\cos x(\sin x – \cos x) = m.\)
Đặt \(\sin x – \cos x = t\), điều kiện \(|t| \le \sqrt 2 \), suy ra \(\sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}.\)
Khi đó phương trình có dạng:
\({t^3} + 3t.\frac{{1 – {t^2}}}{2} = m\) \( \Leftrightarrow – {t^3} + 3t = 2m\) \((2).\)
a. Với \(m = 1\) ta được:
\({t^3} – 3t + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow (t – 1)\left( {{t^2} + t + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow t = 1\) \( \Leftrightarrow \sin x – \cos x = 1.\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = 1\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{\pi }{2} + 2k\pi }\\
{x = \pi + 2k\pi }
\end{array}} \right.\), \(k \in Z.\)
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
b. Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:
+ Cách 1: Với \(x \in [0,\pi ]\) \( \Rightarrow t \in [ – 1,\sqrt 2 ].\)
Ta có nhận xét sau:
+ Với mỗi \({t_0} \in ( – 1,1)\) hoặc \({t_0} = \sqrt 2 \) thì phương trình: \(\sin x – \cos x = {t_0}\) \( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = {t_0}\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{t_0}}}{{\sqrt 2 }}\) sẽ có đúng \(1\) nghiệm \(x \in [0,\pi ].\)
+ Với mỗi \({t_0} \in [1,\sqrt 2 )\) thì phương trình: \(\sin x – \cos x = {t_0}\) \( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = {t_0}\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{{t_0}}}{{\sqrt 2 }}\) sẽ có đúng \(2\) nghiệm \(x \in [0,\pi ].\)
Vậy để phương trình \((1)\) có đúng ba nghiệm thuộc \([0,\pi ]\) \( \Leftrightarrow (2)\) có \(2\) nghiệm \({t_1}\), \({t_2}\) thoả mãn \( – 1 < {t_1} < 1 < {t_2} < \sqrt 2 .\)
Xét hàm số \(y = – {t^3} + 3t\) trên \([ – 1,\sqrt 2 ].\)
Đạo hàm:
\(y’ = – 3{t^2} + 3.\)
\(y’ = 0\) \( \Leftrightarrow – 3{t^2} + 3 = 0\) \( \Leftrightarrow t = \pm 1.\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là:
\(\sqrt 2 < 2m < 2\) \( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} < m < 1.\)
+ Cách 2: Số nghiệm thuộc \([0,\pi ]\) của phương trình \((1)\) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {\sin ^3}x – {\cos ^3}x\) trên \([0,\pi ]\) với đường thẳng \(y = m.\)
Xét hàm số \(y = {\sin ^3}x – {\cos ^3}x\) trên \([0,\pi ].\)
Đạo hàm:
\(y’ = – 3\cos x{\sin ^2}x + 3\sin x{\cos ^2}x.\)
\(y’ = 0\) \( \Leftrightarrow 3\cos x{\sin ^2}x + 3\sin x{\cos ^2}x = 0\) \( \Leftrightarrow \frac{3}{2}(\sin x + \cos x)\sin 2x = 0.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin 2x = 0}\\
{\sin x + \cos x = 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin 2x = 0}\\
{\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x = k\pi }\\
{x + \frac{\pi }{4} = k\pi }
\end{array}} \right.\) \(\mathop \Leftrightarrow \limits^{x \in \left[ {0;\pi } \right]} \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = \frac{\pi }{2}}\\
{x = \pi }\\
{x = \frac{{3\pi }}{4}}
\end{array}} \right..\)
Bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên, ta được điều kiện là: \(\frac{{\sqrt 2 }}{2} < m < 1.\)
II. CÁC BÀI TOÁN THI
Bài 1: Giải phương trình:
\(\cos x + \frac{1}{{\cos x}}\) \( + \sin x + \frac{1}{{\sin x}} = \frac{{10}}{3}.\)
Điều kiện:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x \ne 0}\\
{\cos x \ne 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\), \(k \in Z.\)
Biến đổi phương trình về dạng:
\(\sin x + \cos x\) \( + \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x\cos x}} – \frac{{10}}{3} = 0.\)
Đặt \(\sin x + \cos x = t\), điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \), suy ra \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.\)
Khi đó phương trình có dạng:
\(t + \frac{{2t}}{{{t^2} – 1}} – \frac{{10}}{3} = 0\) \( \Leftrightarrow 3{t^3} – 10{t^2} + 3t + 10 = 0.\)
\( \Leftrightarrow (t – 2)\left( {3{t^2} – 4t – 5} \right) = 0\) \(\mathop \Leftrightarrow \limits^{\left| t \right| \le \sqrt 2 } t = \frac{{2 – \sqrt {19} }}{3}\) \( \Leftrightarrow \sin x + \cos x = \frac{{2 – \sqrt {19} }}{3}.\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{2 – \sqrt {19} }}{3}\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{2 – \sqrt {19} }}{{3\sqrt 2 }} = \sin \alpha .\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{4} + \alpha + 2k\pi }\\
{x = \frac{{5\pi }}{4} – \alpha + 2k\pi }
\end{array}} \right.\), \(k \in Z.\)
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
Bài 2: (ĐHNT – 1998): Giải phương trình:
\(\sin x + {\sin ^2}x + {\sin ^3}x + {\sin ^4}x\) \( = \cos x + {\cos ^2}x + {\cos ^3}x + {\cos ^4}x.\)
Ta có:
\({\sin ^3}x – {\cos ^3}x\) \( = (\sin x – \cos x)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x + \sin x\cos x} \right).\)
\({\sin ^4}x – {\cos ^4}x\) \( = \left( {{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\) \( = – \cos 2x.\)
Phương trình được viết lại dưới dạng:
\(\sin x – \cos x\) \( + {\sin ^2}x – {\cos ^2}x\) \( + {\sin ^3}x – {\cos ^3}x\) \( + {\sin ^4}x – {\cos ^4}x = 0.\)
\( \Leftrightarrow \sin x – \cos x – \cos 2x\) \( + (\sin x – \cos x)(1 + \sin x\cos x)\) \( – \cos 2x = 0.\)
\( \Leftrightarrow \sin x – \cos x – 2\cos 2x\) \( + (\sin x – \cos x)(1 + \sin x\cos x) = 0.\)
\( \Leftrightarrow (\sin x – \cos x)\)\(\left[ {1 + 2(\sin x + \cos x) + 1 + \sin x\cos x} \right] = 0.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x – \cos x = 0\:\left( 1 \right)}\\
{2(\sin x + \cos x) + \sin x\cos x + 2 = 0\:\left( 2 \right)}
\end{array}} \right..\)
+ Giải \((1)\): Ta được \(\tan x = 1\) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \), \(k \in Z.\)
+ Giải \((2)\): Đặt \(\sin x + \cos x = t\) điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \), suy ra \(\sin x\cos x = \frac{{{t^2} – 1}}{2}.\)
Khi đó \((2)\) có dạng:
\(2t + \frac{{{t^2} – 1}}{2} + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow {t^2} + 4t + 3 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 1}\\
{t = – 3\:{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..\)
\( \Leftrightarrow \sin x + \cos x = – 1\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{2} + 2k\pi }\\
{x = \pi + 2k\pi }
\end{array}} \right.\), \(k \in Z.\)
Vậy phương trình có ba họ nghiệm.
Bài 3: (ĐHSP TP HCM – ĐHL TP HCM): Tìm \(m\) để phương trình: \(2\cos 2x\) \( + (\sin x\cos x – m)(\sin x + \cos x) = 0\) \((1)\) có nghiệm trong khoảng \(\left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right].\)
Biến đổi phương trình về dạng:
\((\sin x + \cos x)\left[ {2(\cos x – \sin x) + \sin x\cos x – m} \right] = 0.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x + \cos x = 0}\\
{2(\cos x – \sin x) + \sin x\cos x = m}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – \frac{\pi }{4} + k\pi }\\
{2(\cos x – \sin x) + \sin x\cos x = m}
\end{array}} \right..\)
\( \Leftrightarrow 2(\cos x – \sin x) + \sin x\cos x – m = 0\) \((2).\)
Đặt \(t = \cos x – \sin x\), vì \(x \in \left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]\) \( \Leftrightarrow t \in [ – 1,1].\)
Khi đó \(\sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}\), phương trình \((2)\) có dạng:
\( – \frac{1}{2}{t^2} + 2t + \frac{1}{2} = m\) \((3).\)
Vậy \((1)\) có nghiệm trong khoảng \(\left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right]\) \( \Leftrightarrow (3)\) có nghiệm thuộc \([ – 1,1].\)
Xét hàm số \(f(t) = – \frac{1}{2}{t^2} + 2t + \frac{1}{2}.\)
Miền xác định: \(D = [ – 1,1].\)
Đạo hàm:
\(f'(t) = – t + 2.\)
\(f(t) = 0\) \( \Leftrightarrow t = 2.\)
Bảng biến thiên:
Vậy phương trình có nghiệm thuộc \([ – 1,1]\) khi:
\(f( – 1) \le m \le f(1)\) \( \Leftrightarrow – 2 \le m \le 2.\)
Bài 4: Giải và biện luận phương trình:
\(\frac{1}{{\cos x}} – \frac{1}{{\sin x}} = k.\)
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x \ne 0}\\
{\cos x \ne 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{2}\), \(k \in Z.\)
Biến đổi phương trình về dạng:
\(\frac{{\sin x – \cos x}}{{\sin x\cos x}} – k = 0\) \( \Leftrightarrow \sin x – \cos x – k\sin x\cos x = 0\) \((1).\)
Đặt \(\sin x – \cos x = t\), điều kiện \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \), suy ra \(\sin x\cos x = \frac{{1 – {t^2}}}{2}.\)
Khi đó phương trình có dạng:
\(t – k.\frac{{1 – {t^2}}}{2} = 0\) \( \Leftrightarrow f(t) = k{t^2} + 2t – k = 0\) \((2).\)
1. Với \(k = 0\) ta được:
\(t = 0\) \( \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 0\) \( \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{4} + k\pi \), \(k \in Z.\)
Vậy với \(k = 0\) phương trình có một họ nghiệm.
2. Với \(k \ne 0\) ta có:
\(\Delta = 1 + {k^2} > 0\), \(\forall k\) suy ra phương trình \((2)\) có hai nghiệm là:
\({t_1} = \frac{{ – 1 – \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.\)
\({t_2} = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.\)
Phương trình \((1)\) có nghiệm \( \Rightarrow (2)\) có nghiệm thoả mãn \( – \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 .\)
Xét hai trường hợp:
+ Trường hợp 1: Phương trình \((2)\) có \(1\) nghiệm thuộc \([ – \sqrt 2 ,\sqrt 2 ].\)
\( \Leftrightarrow f( – \sqrt 2 )f(\sqrt 2 ) \le 0\) \( \Leftrightarrow (k – 2\sqrt 2 )(k + 2\sqrt 2 ) \le 0\) \( \Leftrightarrow – 2\sqrt 2 \le k \le 2\sqrt 2 .\)
Khi đó nghiệm thuộc \([ – \sqrt 2 ,\sqrt 2 ]\) là \({t_2} = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.\)
\( \Leftrightarrow \sin x – \cos x = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{{k\sqrt 2 }} = \sin \alpha .\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – \frac{\pi }{4} = \alpha + 2k\pi }\\
{x – \frac{\pi }{4} = \pi – \alpha + 2k\pi }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \alpha + \frac{\pi }{4} + 2k\pi }\\
{x = \frac{{5\pi }}{4} – \alpha + 2k\pi }
\end{array}} \right.\), \(k \in Z.\)
Vậy phương trình có hai họ nghiệm.
+ Trường hợp 2: Phương trình \((2)\) có \(2\) nghiệm thuộc \([ – \sqrt 2 ,\sqrt 2 ].\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\Delta \ge 0}\\
{af(\sqrt 2 ) \ge 0}\\
{af( – \sqrt 2 ) \ge 0}\\
{ – \sqrt 2 \le \frac{S}{2} \le \sqrt 2 }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 + {k^2} \ge 0}\\
{k(k + 2\sqrt 2 ) \ge 0}\\
{k(k – 2\sqrt 2 ) \ge 0}\\
{ – \sqrt 2 \le – \frac{1}{k} \le \sqrt 2 }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{k \ge 2\sqrt 2 }\\
{k \le – 2\sqrt 2 }
\end{array}} \right..\)
Khi đó:
+ Với \({t_1} = \frac{{ – 1 – \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.\)
\( \Leftrightarrow \sin x – \cos x = \frac{{ – 1 – \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ – 1 – \sqrt {1 + {k^2}} }}{{k\sqrt 2 }} = \sin \alpha .\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – \frac{\pi }{4} = \alpha + 2k\pi }\\
{x – \frac{\pi }{4} = \pi – \alpha + 2k\pi }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \alpha + \frac{\pi }{4} + 2k\pi }\\
{x = \frac{{5\pi }}{4} – \alpha + 2k\pi }
\end{array}} \right.\), \(k \in Z.\)
+ Với \({t_2} = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}.\)
\( \Leftrightarrow \sin x – \cos x = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{k}\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ – 1 + \sqrt {1 + {k^2}} }}{{k\sqrt 2 }} = \sin \beta .\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x – \frac{\pi }{4} = \beta + 2k\pi }\\
{x – \frac{\pi }{4} = \pi – \beta + 2k\pi }
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \beta + \frac{\pi }{4} + 2k\pi }\\
{x = \frac{{5\pi }}{4} – \beta + 2k\pi }
\end{array}} \right.\), \(k \in Z.\)
Vậy phương trình có bốn họ nghiệm.
III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài tập 1. Giải các phương trình sau:
a. \(3(\sin x + \cos x) – 4\sin x\cos x = 0.\)
b. \(12(\sin x – \cos x) – 2\sin x\cos x – 12 = 0.\)
c. \((1 + \cos x)(1 + \sin x) = 2.\)
Bài tập 2. Giải các phương trình sau:
a. \(|\sin x – \cos x| + 4\sin 2x = 1.\)
b. \(|\sin x + \cos x| – \sin 2x = 0.\)
Bài tập 3. (ĐHQG Hà Nội Khối B – 1997): Giải phương trình:
\(2\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}.\)
Bài tập 4. Tìm \(m\) để phương trình: \(3(\sin x + \cos x) = 4m\sin x\cos x\) có nghiệm thuộc \(\left( {0,\frac{{3\pi }}{4}} \right).\)
Bài tập 5. Cho phương trình: \((1 – \cos x)(1 – \sin x) = m.\)
a. Giải phương trình với \(m = 2.\)
b. Tìm \(m\) để phương trình có đúng \(1\) nghiệm thuộc \(\left[ {0,\frac{\pi }{2}} \right].\)
Bài tập 6. Cho phương trình: \(2{\sin ^3}x + \cos 2x + \cos x = m.\)
a. Giải phương trình với \(m = 0.\)
b. Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm.
Bài tập 7. Cho phương trình: \(m(\sin x + \cos x) + \sin x\cos x + 1 = 0.\)
a. Giải phương trình với \(m = – \sqrt 2 .\)
b. Tìm \(m\) để phương trình có nghiệm.
c. Tìm \(m\) để phương trình có đúng \(1\) nghiệm thuộc \(\left[ { – \frac{\pi }{2},0} \right].\)
Bài tập 8. Cho phương trình:
\(m(\sin x + \cos x) + \sin 2x = 0.\)
a. Giải phương trình với \(m = 1.\)
b. Tìm \(m\) để phương trình vô nghiệm.
c. Tìm \(m\) để phương trình có đúng \(2\) nghiệm thuộc \([0,\pi ].\)
Bài tập 9. Giải và biện luận theo \(k\) phương trình:
\(\frac{1}{{\cos x}} + \frac{1}{{\sin x}} = k.\)
Bài tập 10. Cho phương trình:
\(m(\sin x – \cos x) + 2\sin x\cos x = m.\)
a. Giải phương trình với \(m = 1 + \sqrt 2 .\)
b. Tìm \(m\) để phương trình có đúng \(2\) nghiệm thuộc \([0,\pi ].\)
Bài tập 11. Cho phương trình:
\(m + {\sin ^3}x + {\cos ^3}x – 3\sin x\cos x = 0.\)
a. Giải phương trình với \(m = 1.\)
b. Tìm \(m\) để phương trình có đúng \(3\) nghiệm thuộc \([0,\pi ].\)
c. Tìm \(m\) để phương trình có đúng \(4\) nghiệm thuộc \([0,\pi ].\)
Bài tập 12. Xác định \(m\) để phương trình: \(\sin x + \cos x + 1\) \( + \frac{1}{2}\left( {\tan x + \cot x + \frac{1}{{\sin x}} + \frac{1}{{\cos x}}} \right) = m\) có nghiệm \(x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right).\)
Bài tập 13. Tìm \(m\) để phương trình sau có nghiệm:
\(\sin 2x + 4(\cos x – \sin x) = m.\)