Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai
Bài tập vận dụng!1. Kiến thức cần nhớ
a) Căn bậc hai của số phức.
- Số phức \(w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) là căn bậc hai của số phức \(z = a + bi\) nếu \({w^2} = z\).
- Mọi số phức \(z \ne 0\) đều có hai căn bậc hai là hai số đối nhau \(w\) và \( - w\)
- Số thực \(a > 0\) có hai căn bậc hai là \( \pm \sqrt a \); số thực \(a < 0\) có hai căn bậc hai là \( \pm i\sqrt {\left| a \right|} \).
b) Phương trình bậc hai.
Xét phương trình bậc hai tổng quát: \(A{z^2} + Bz + C = 0\left( {A \ne 0} \right)\).
- Biệt thức \(\Delta = {B^2} - 4AC\).
+ Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({z_{1,2}} = - \dfrac{B}{{2A}}\)
+ Nếu \(\Delta \ne 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_{1,2}} = \dfrac{{ - B \pm \sqrt \Delta }}{{2A}}\) (ở đó \(\sqrt \Delta \) là kí hiệu căn bậc hai của số phức \(\Delta \))
- Hệ thức Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = - \dfrac{B}{A}\\{z_1}{z_2} = \dfrac{C}{A}\end{array} \right.\)
2. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm căn bậc hai của số phức.
Phương pháp:
Cách 1: Biến đổi \(z = a + bi\) dưới dạng bình phương của số phức khác.
Cách 2: Giả sử \(w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) là một căn bậc hai của \(z\), khi đó \({w^2} = z \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = a\\2xy = b\end{array} \right.\)
- [message]
- ##check##Nhận xét:
Ví dụ: Tìm căn bậc hai của số phức \(z = 8 + 6i\).
Giải:
Cách 1:
Ta có: \(z = 8 + 6i = 9 + 6i - 1 = {3^2} + 2.3i + {i^2} = {\left( {3 + i} \right)^2}\)
Do đó các căn bậc hai của số phức \(z\) là \(3 + i\) và \( - 3 - i\).
Cách 2:
Giả sử \(w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) là một căn bậc hai của số phức \(z = 8 + 6i\)
Khi đó \({w^2} = z \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 8\\2xy = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{x}\\{x^2} - \dfrac{9}{{{x^2}}} = 8\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{x}\\{x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{3}{x}\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} = - 1(L)\\{x^2} = 9(TM)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3,y = 1\\x = - 3,y = - 1\end{array} \right.\)
Vậy có hai căn bậc hai của số phức \(z = 8 + 6i\) là \(3 + i\) và \( - 3 - i\).
Dạng 2: Giải phương trình bậc hai.
Phương pháp:
- Bước 1: Tính \(\Delta = {B^2} - 4AC\).
- Bước 2: Tìm các căn bậc hai của \(\Delta \)
- Bước 3: Tính các nghiệm:
+ Nếu \(\Delta = 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({z_{1,2}} = - \dfrac{B}{{2A}}\)
+ Nếu \(\Delta \ne 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_{1,2}} = \dfrac{{ - B \pm \sqrt \Delta }}{{2A}}\) (ở đó \(\sqrt \Delta \) là kí hiệu căn bậc hai của số phức \(\Delta \))
- [message]
- ##check##Nhận xét:
Ví dụ: Tìm tập nghiệm của phương trình \({z^2} + z + 1 = 0\).
Giải:
Ta có: \(\Delta = {1^2} - 4.1.1 = - 3\), các căn bậc hai của \( - 3\) là \(i\sqrt 3 \) và \( - i\sqrt 3 \)
Do đó phương trình có nghiệm \({z_1} = \dfrac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}\) và \({z_2} = \dfrac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2}\).
Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {\dfrac{{ - 1 - i\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{ - 1 + i\sqrt 3 }}{2}} \right\}\)
Dạng 3: Sử dụng Vi-et để giải bài toán liên quan đến hai nghiệm của phương trình bậc hai.
Phương pháp:
- Bước 1: Nêu định lý vi-et.
- Bước 2: Biểu diễn biểu thức cần tính giá trị để làm xuất hiện tổng và tích hai nghiệm.
- Bước 3: Thay các giá trị tổng và tích vào biểu thức để tính giá trị.
Dạng 4: Giải phương trình bậc cao.
Phương pháp:
Sử dụng các phép biến đổi (phân tích thành nhân tử, đặt ẩn phụ,…) đưa phương trình bậc cao về các phương trình bậc nhất, bậc hai,…để giải phương trình.
- [message]
- ##check##Nhận xét:
Ví dụ: Giải phương trình \({z^4} + 1 = 0\).
Giải:
Ta có: \({z^4} + 1 = 0 \Leftrightarrow {z^4} - {i^2} = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} - i} \right)\left( {{z^2} + i} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z^2} = i\left( 1 \right)\\{z^2} = - i\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Giải (1): Ta tìm căn bậc hai của số phức \(z' = i\).
Gọi \(w = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) là một căn bậc hai của số phức \(z' = i\). Khi đó:
\({w^2} = i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - {y^2} = 0\\2xy = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = y\\2{x^2} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = - y\\ - 2{y^2} = 1(L)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\x = y = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \\ \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\\z = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\end{array} \right.\)
Giải (2): Ta tìm căn bậc hai của số phức \(z' = - i\)
Vì \(z' = - i = {i^2}.i\) nên các căn bậc hai của \(z'\) là \(i.\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\) và \(i\left( { - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\)
Vậy phương trình có các nghiệm \({z_1} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_2} = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_3} = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i;{z_4} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}i\).
Nguồn: vungoi
