1. Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn
Các bước giải và biện luận phương trình dạng \(a{x^2} + bx + c = 0:\)
• Nếu \(a=0\): Phương trình trở thành: \(bx + c = 0\), khi đó:
+ Nếu \(b \ne 0\), phương trình \(\Leftrightarrow x = – \frac{c}{b}\), do đó phương trình có nghiệm duy nhất \(x = – \frac{c}{b}.\)
+ Nếu \(b = 0\), phương trình trở thành \(0x + c = 0\), ta tiếp tục xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Với \(c = 0\), phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \in R.\)
Trường hợp 2: Với \(c ≠ 0\), phương trình vô nghiệm.
• Nếu \(a\ne 0\): xét \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac:\)
+ Trường hợp 1: Nếu \(\Delta >0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}.\)
+ Trường hợp 2: Nếu \(\Delta =0\), phương trình có nghiệm kép \(x=-\frac{b}{2a}.\)
+ Trường hợp 3: Nếu \(\Delta <0\), phương trình vô nghiệm.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau với \(m\) là tham số:
a) \({{x}^{2}}-x+m=0.\)
b) \(\left( m+1 \right){{x}^{2}}-2mx+m-2=0.\)
c) \(\left( 2{{m}^{2}}+5m+2 \right){{x}^{2}}-4mx+2=0.\)
a) Ta có \(\Delta =1-4m.\)
+ Với \(\Delta >0\) \(\Leftrightarrow 1-4m>0\) \(\Leftrightarrow m<\frac{1}{4}\): Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x=\frac{1\pm \sqrt{1-4m}}{2}.\)
+ Với \(\Delta =0\) \(\Leftrightarrow 1-4m=0\) \(\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}\): Phương trình có nghiệm kép \(x=\frac{1}{2}.\)
+ Với \(\Delta <0\) \(\Leftrightarrow 1-4m<0\) \(\Leftrightarrow m>\frac{1}{4}\): Phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
+ Với \(m<\frac{1}{4}\): Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x=\frac{1\pm \sqrt{1-4m}}{2}.\)
+ Với \(m=\frac{1}{4}\): Phương trình có nghiệm kép \(x=\frac{1}{2}.\)
+ Với \(m>\frac{1}{4}\): Phương trình vô nghiệm.
b)
Trường hợp 1: Với \(m+1=0\) \(\Leftrightarrow m=-1\) khi đó phương trình trở thành \(2x-3=0\) \(\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}.\)
Trường hợp 2: Với \(m+1\ne 0\) \(\Leftrightarrow m\ne -1\) khi đó phương trình trên là phương trình bậc hai.
Ta có \(\Delta’={{m}^{2}}-\left( m-2 \right)\left( m+1 \right)\) \(=m+2.\)
+ Khi \(\Delta >0\) \(\Leftrightarrow m+2>0\) \(\Leftrightarrow m>-2\) khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x=\frac{m\pm \sqrt{m+2}}{m+1}.\)
+ Khi \(\Delta =0\) \(\Leftrightarrow m+2=0\) \(\Leftrightarrow m=-2\) khi đó phương trình có nghiệm là \(x=2.\)
+ Khi \(\Delta <0\) \(\Leftrightarrow m+2<0\) \(\Leftrightarrow m<-2\) khi đó phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
+ Với \(m=-1\): Phương trình có nghiệm là \(x=\frac{3}{2}.\)
+ Với \(m=-2\): Phương trình có nghiệm là \(x=2.\)
+ Với \(m>-2\) và \(m\ne -1\): Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x=\frac{m\pm \sqrt{m+2}}{m+1}.\)
+ Với \(m<-2\): Phương trình vô nghiệm.
c) \(\left( 2{{m}^{2}}+5m+2 \right){{x}^{2}}-4mx+2=0.\)
Trường hợp 1: Với \(2{{m}^{2}}+5m+2=0\) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=-2 \\
m=-\frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.\)
+ Khi \(m=-2\) phương trình trở thành \(8x+2=0\) \(\Leftrightarrow x=-\frac{1}{4}.\)
+ Khi \(m=-\frac{1}{2}\) phương trình trở thành \(2x+2=0\) \(\Leftrightarrow x=-1.\)
Trường hợp 2: Với \(2{{m}^{2}}+5m+2\ne 0\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne -2 \\
m\ne -\frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.\) khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai.
Ta có \(\Delta =4{{m}^{2}}-2\left( 2{{m}^{2}}+5m+2 \right)\) \(=-2\left( 5m+2 \right).\)
+ Khi \(\Delta >0\) \(\Leftrightarrow -2\left( 5m+2 \right)>0\) \(\Leftrightarrow m<-\frac{2}{5}\) khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x=\frac{2m\pm \sqrt{-2\left( 5m+2 \right)}}{2{{m}^{2}}+5m+2}.\)
+ Khi \(\Delta =0\) \(\Leftrightarrow m=-\frac{2}{5}\) phương trình có nghiệm kép \(x=-5.\)
+ Khi \(\Delta <0\) \(\Leftrightarrow m>-\frac{2}{5}\) phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
+ Với \(m=-2\) phương trình có nghiệm \(x=-\frac{1}{4}.\)
+ Với \(m=-\frac{1}{2}\) phương trình có nghiệm \(x=-1.\)
+ Với \(m=-\frac{2}{5}\) phương trình có nghiệm kép \(x=-5.\)
+ Với \(m<-\frac{2}{5}\), \(m\ne -2\) và \(m\ne -\frac{1}{2}\) khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt \(x=\frac{2m\pm \sqrt{-2\left( 5m+2 \right)}}{2{{m}^{2}}+5m+2}.\)
+ Với \(m>-\frac{2}{5}\) phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình sau với \(a,b\) là tham số: \(a{{x}^{2}}-2\left( a+b \right)x+a+2b=0.\)
Trường hợp 1: Với \(a=0\) phương trình trở thành \(-2bx+2b=0\) \(\Leftrightarrow bx=b.\)
+ Khi \(b=0\) phương trình là \(0x=0\) do đó phương trình nghiệm đúng với mọi \(x.\)
+ Khi \(b\ne 0\) phương trình có nghiệm là \(x=1.\)
Trường hợp 2: Với \(a\ne 0\) phương trình là phương trình bậc hai.
Ta có \(\Delta’={{\left( a+b \right)}^{2}}-a\left( a+2b \right)\) \(={{b}^{2}}.\)
+ Khi \(b=0\) phương trình có nghiệm kép \(x=\frac{a+b}{a}.\)
+ Khi \(b\ne 0\) phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(\left[ \begin{matrix}
x=\frac{a+b+b}{a}=\frac{a+2b}{a} \\
x=\frac{a+b-b}{a}=1 \\
\end{matrix} \right.\)
Kết luận:
+ Với \(a=b=0\) phương trình nghiệm đúng với mọi \(x.\)
+ Với \(a=0\) và \(b\ne 0\) phương trình có nghiệm duy nhất \(x=1.\)
+ Với \(a\ne 0\) và \(b=0\) phương trình có nghiệm kép \(x=\frac{a+b}{a}.\)
+ Với \(a\ne 0\) và \(b\ne 0\) phương trình có hai nghiệm phân biệt là \(x=\frac{a+2b}{a}\) và \(x=1.\)
Ví dụ 3. Tìm \(m\) để phương trình \(m{{x}^{2}}+x+m+1=0\):
a) Có nghiệm kép.
b) Có hai nghiệm phân biệt.
a)
+ Với \(m=0\) phương trình trở thành phương trình bậc nhất \(x+1=0\), suy ra \(m=0\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với \(m\ne 0\) phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có nghiệm kép khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{matrix}
a\ne 0 \\
\Delta =0 \\
\end{matrix} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne 0 \\
1-4m\left( m+1 \right)=0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne 0 \\
4{{m}^{2}}-4m+1=0 \\
\end{matrix} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne 0 \\
m=\frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}.\)
Vậy \(m=\frac{1}{2}\) thì phương trình có nghiệm kép.
b)
+ Với \(m=0\) phương trình trở thành phương trình bậc nhất \(x+1=0\) suy ra \(m=0\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ Với \(m\ne 0\) phương trình trên là phương trình bậc hai nên nó có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta >0\) \(\Leftrightarrow 1-4m\left( m+1 \right)>0\) \(\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-4m+1>0\) \(\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}>0\) \(\Leftrightarrow m\ne \frac{1}{2}.\)
Vậy \(m\ne 0\) và \(m\ne \frac{1}{2}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
3. Bài tập rèn luyện
a. Đề bài
Bài toán 1. Tìm \(m\) để phương trình \({{x}^{2}}-3mx+(2{{m}^{2}}-m-1)=0\) có nghiệm kép, tìm nghiệm kép đó.
Bài toán 2. Cho phương trình: \(m{{x}^{2}}-2mx+m+1=0.\)
a) Giải phương trình đã cho khi \(m=-2.\)
b) Tìm \(m\) để phương trình đã cho có nghiệm.
Bài toán 3. Giải và biện luận phương trình:
a) \((m-2){{x}^{2}}-2(m+1)x+m-5=0.\)
b) \((m-2){{x}^{2}}-(2m-1)x+m+2=0.\)
Bài toán 4. Tùy thuộc vào giá trị của tham số \(m\), hãy tìm hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d:y=2x+m\) và Parabol \((P):\) \(y=\left( m – 1 \right){{x}^{2}}+2mx+3m – 1.\)
b. Hướng dẫn giải và đáp số
Bài toán 1. Ta có: \(\Delta =9{{m}^{2}}-4\left( 2{{m}^{2}}-m-1 \right)\) \(=9{{m}^{2}}-8{{m}^{2}}+4m+4\) \(={{(m+2)}^{2}}.\)
Phương trình có nghiệm kép khi \(\Delta ={{(m+2)}^{2}}=0\) \(\Rightarrow m=-2.\)
Nghiệm kép đó là \({{x}_{1}}={{x}_{2}}\) \(=\frac{3m}{2}=\frac{-6}{2}=-3.\)
Bài toán 2.
a) Với \(m=-2\) ta có phương trình: \(-2{{x}^{2}}+4x-1=0\) \(\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4x+1=0\), phương trình này có hai nghiệm phân biệt \(x=\frac{2\pm \sqrt{2}}{2}.\)
b)
Với \(m=0\) ta thấy phương trình vô nghiệm.
Với \(m\ne 0\) thì phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta’={{m}^{2}}-m\left( m+1 \right)\ge 0\) \(\Leftrightarrow m<0.\)
Bài toán 3.
a)
Trường hợp 1: Với \(m-2=0\) \(\Leftrightarrow m=2:\) Phương trình trở thành: \(-6x-3=0\) \(\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}.\)
Trường hợp 2: \(m-2\ne 0\) \(\Leftrightarrow m\ne 2\), xét \(\Delta’={{(m+1)}^{2}}-(m-2)(m-5)\) \(=9m-9=9(m-1),\) ta có:
+ Nếu \(\Delta'<0\) \(\Leftrightarrow 9(m-1)<0\) \(\Leftrightarrow m<1\): Phương trình vô nghiệm.
+ Nếu \(\Delta’=0\) \(\Leftrightarrow 9(m-1)=0\) \(\Leftrightarrow m=1\): Phương trình có nghiệm kép \(x=\frac{m+1}{m-2}=-2.\)
+ Nếu \(\Delta’>0\) \(\Leftrightarrow 9(m-1)>0\) \(\Leftrightarrow m>1\): Phương trình có \(2\) nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{matrix}
x=\frac{m+1+3\sqrt{m-1}}{m-2} \\
x=\frac{m+1-3\sqrt{m-1}}{m-2} \\
\end{matrix} \right.\)
Kết luận:
+ Với \(m<1\): Phương trình vô nghiệm.
+ Với \(m=1\): Phương trình có nghiệm \(x=-2.\)
+ Với \(m=2\): Phương trình có nghiệm \(x=-\frac{1}{2}.\)
+ Với \(1
x=\frac{m+1-3\sqrt{m-1}}{m-2} \\
\end{matrix} \right.\)
b)
Trường hợp 1: Với \(m-2=0\) \(\Leftrightarrow m=2\), khi đó phương trình \(\Leftrightarrow -3x+4=0\) \(\Leftrightarrow x=\frac{4}{3}.\)
Trường hợp 2: Với \(m\ne 2\), khi đó phương trình là phương trình bậc hai có: \(\Delta =-4m+17.\)
+ Với \(m>\frac{17}{4}\) \(\Rightarrow \Delta <0\) suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Với \(m=\frac{17}{4}\) \(\Rightarrow \Delta =0\) suy ra phương trình có nghiệm kép: \({{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{2m-1}{2(m-2)}=\frac{10}{3}.\)
+ Với \(m<\frac{17}{4}\) \(\Rightarrow \Delta >0\) phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({{x}_{1}}=\frac{2m-1+\sqrt{-4m+17}}{2\left( m-2 \right)}\) và \({{x}_{2}}=\frac{2m-1-\sqrt{-4m+17}}{2\left( m-2 \right)}.\)
Kết luận:
+ Với \(m=2\) phương trình có một nghiệm \(x=\frac{4}{3}.\)
+ Với \(m>\frac{17}{4}\) phương trình vô nghiệm.
+ Với \(m=\frac{17}{4}\) phương trình có nghiệm kép \(x=\frac{10}{3}.\)
+ Với \(\left\{ \begin{align}
& m<\frac{17}{4} \\
& m\ne 2 \\
\end{align} \right.\) phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({{x}_{1,2}}=\frac{2m-1\pm \sqrt{-4m+17}}{2\left( m-2 \right)}.\)
Bài toán 4. Hoành độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và Parabol \((P)\) là nghiệm của phương trình: \(\left( m-1 \right){{x}^{2}}+2mx+3m-1=2x+m\) \(\Leftrightarrow \left( m-1 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+2m-1=0\) \((*).\)
Với \(m=1\) ta thấy \((*)\) vô nghiệm nên \(d\) và \((P)\) không có giao điểm.
Với \(m\ne 1\) thì \((*)\) là phương trình bậc hai có \(\Delta’={{\left( m-1 \right)}^{2}}\left( m-1 \right)\left( 2m-1 \right)=-m\left( m-1 \right).\)
Do đó ta có các trường hợp sau:
+ Trường hợp 1: Nếu \(m\in \left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)\) thì \(\Delta'<0\) nên \((*)\) vô nghiệm nên \(d\) và \(\left( \text{P} \right)\) không có giao điểm.
+ Trường hợp 2: Nếu \(m=0\) thì \(\Delta’=0\) và \((*)\) có một nghiệm \(x=-1.\)
+ Trường hợp 3: Nếu \(m\in \left( 0;1 \right)\) thì \(\Delta’>0\) và \((*)\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1,2}}=1\pm \frac{\sqrt{m\left( 1-m \right)}}{m-1}.\)